5.1.Дневная добыча угля в некоторой шахте рас­пределена по нормальному закону с математиче­ским ожиданием 785 т и стандартным отклонени­ем 60 т. Найдите вероятность того, что в опреде­ленный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые бу­дет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите вероят­ность того, что в данный день добыча угля окажет­ся ниже 665 т.

5.2.Кандидат на выборах считает, что 20% изби­рателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя слу­чайно отобраны из числа избирателей данной обла­сти, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не бу­дет отличаться по абсолютной величине от истин­ной доли более, чем на 0,07.

5.3.Авиакомпания знает, что в среднем 5% лю­дей, делающих предварительный заказ на опреде­ленный рейс, не будет его использовать. Если авиа­компания продала 160 билетов на самолет, в кото­ром лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

5.4.Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределен­ная случайная величина с неизвестным математи­ческим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выб­ранного грейпфрута.

5.5.Один из методов, позволяющих добиться ус­пешных экономических прогнозов, состоит в при­менении согласованных подходов к решению конк­ретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат та­ких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением 9%и стандарт­ным отклонением2,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Най­дите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.

5.6.Предположим, что в течение года цена на ак­ции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с матема­тическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандарт­ным отклонением, равным 6. Определите вероят­ность того, что в случайно выбранный день обсужда­емого периода цена за акцию была: а) более 60 у.е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между40и 50 у.е. за акцию.

5.7.Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзаме­ны. В среднем их выдерживают лишь 25% абиту­риентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все эк­замены (наберут проходной балл)?

5.8.Средний срок службы коробки передач до ка­питального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклоне­нием16 мес. Привлекая покупателей, произво­дитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколь­ко месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бес­платных ремонтов не превышало 2,275% продан­ных автомобилей?

5.9.При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное чис­ло унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нор­мальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество ун­ций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение0,4 унции. Пусть ем­кости объемом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разли­вать аппарат, чтобы не более 5% емкостей оказа­лось переполненными?

5.10.Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением560 и неизвестным матема­тическим ожиданием. В 90% случаев число еже­месячных заказов превышает 12 439. Найдите ожи­даемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

5.11.Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134 786 ед. продук­ции в неделю, и стандартным отклонением — 13 000 ед. Найдите вероятность того, что еженедель­ный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже 100 000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80 000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверж­дает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (). Можно ли доверять проф­союзу?

5.12.Почтовое отделение быстро оценивает объем переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого текущего рабочего дня. Установле­но, что если вес почтовых отправлений составляетNкг, то объем переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением160Nи стандартным откло­нением20Nкг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объем переводов в рублях будет находиться в преде­лах: а) от 21 000 до 27 000 руб.; б) более 28 500 руб.; в) менее 22 000 руб.

5.13.Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресто­ран поужинать. В один из вечеров менеджер ре­шил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероят­ность того, что более 15 посетителей придут на за­казанные места?

5.14.Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого кор­ма доля протеина составляла не меньше,но не болееНайдитеи .

5.15.Вес товаров, помещаемых в контейнер опре­деленного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейне­ров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25% — имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

5.16.Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполя­рья есть случайная величина. Чему рав­на вероятность того, что абсолютная величина от­клонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4?

5.17.КомпанияАпокупает у компанииВдетали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точ­но установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера бо­лее чем намм, считается дефектной. Компа­нияАтребует от компанииВ,чтобы доля брака не превышала 1% деталей. Если компанияВвыпол­няет требование компанииА, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормаль­ному закону.

5.18.Компьютерная система содержит 45 одина­ковых микроэлементов. Вероятность того, что лю­бой микроэлемент будет работать в заданное вре­мя, равна 0,80. Для выполнения некоторой опера­ции требуется, чтобы по крайней мере 30 микро­элементов было в рабочем состоянии. Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

5.19.Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько экспериментальных партий покрышек и проверить степень их износа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количе­ство каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2 500 миль (2 500). Если компания хочет, чтобы 80% выпускаемых автопок­рышек имели срок службы не менее 25 000 миль, то какой наименьший средний срок службы авто­покрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела? Считать срок службы автопок­рышек нормально распределенным.

5.20.Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много вре­мени на выполнение их заказов. Собрав и проана­лизировав соответствующую информацию, он вы­яснил, что среднее время выполнения заказа состав­ляет 6,6 дня, однако для выполнения 20% заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, рас­пределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени об­служивания клиентов.

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

29.Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а=9% и стандартным отклонением s=2.6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.

Задачи к теме 5

19. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную ёмкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение  = 0,4 унции. Пусть ёмкости объёмом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 3% ёмкостей оказались переполненными?

Задачи к теме 5

2. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более, чем на 0,07.

Задачи к теме 5 «Законы распределения непрерывных случайных величин»

8. По данным независимого исследования, хлеб определенного сорта, составляет 15% от совокупной реализации хлебобулочных изделий. Если выборочному обследованию были подвергнуты 80 торговых предприятий, то какова вероятность того, что доля реализации хлеба определенного сорта в генеральной совокупности будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли менее чем на 5%?

Решение тестов по теории вероятности 4100

В магазине имеется 15 видов различных коробок с конфетами. Представитель фирмы покупает 10 коробок, выбирая каждую случайным образом. Сколько существует способов выбрать случайно 10 самых дорогих коробок конфет, если все коробки с конфетами должны быть разными?

Пусть прогноз относительно величины банковской процентной ставки

4. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

Как легко рассчитать процентную ставку

Банки обычно повышают процентную кредитную ставку в периоды повышенной инфляции, закладывая ее рост в номинальную ставку. Такой шаг, помимо борьбы с понижением цены денег, дает им возможность поднять процентную ставку по депозитам, чтобы не лишиться вкладчиков.

1. Компьютерная система содержит 50 одинаковых микрочипов. Вероятность того, что любой микрочип будет работать в заданное время, равна 0,9. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы, по крайней мере, 30 микрочипов было в рабочем состоянии.

а) Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

б) Чему равна вероятность того, что будут работать 47 микрочипов?

2. Почтовое отделение быстро оценивает объём переводов в рублях, взвешивая почтовые отправления, полученные в течение каждого текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений составляет N кг, то объём переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N и стандартным отклонением 20N руб. Найти вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объём переводов в рублях будет находиться в пределах:

а) от 21000 до 27000 руб.; б) более 28500 руб.; в) менее 22000 руб.

3.Менеджер крупного ресторана по опыту знает, что только 80% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 60 заказов, хотя в ресторане было лишь 55 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 55 посетителей придут на заказанные места?

4. Экзамен по математической статистике успешно сдают 75% студентов дневного отделения. Если на втором курсе факультета обучается 250 студентов, то какова вероятность того, что 203 студента сдадут экзамен успешно?

5. В отделе продаж страховой компании работают 45 сотрудников. Вероятность того, что сотрудник выполнит план по числу заключенных договоров, оценивается начальником отдела как 0,7. Какова вероятность того, что:

а) план выполнят как минимум 35 сотрудников?

б) план выполнят не более 30 сотрудников?

в) план выполнят 37 сотрудников?

6. Отдел маркетинга фармацевтической компании утверждает, что новая модификация таблеток от головной боли используется 30% пациентов. Если среди пациентов было отобрано 80 человек, то какова вероятность того, что доля лиц в выборке, предпочитающих новую модификацию таблеток, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более чем на 0,1?

7. Дневная выручка супермаркета распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 10000 у.е. и стандартным отклонением 1400 у.е. Найдите вероятность того, что:

а) выручка супермаркета окажется более 13000 у.е.;

б) выручка супермаркета окажется менее 8000 у.е.;

в) найдите границы, в которых будет находиться выручка супермаркета согласно правилу трех сигм.

8. По данным независимого исследования, хлеб определенного сорта, составляет 15% от совокупной реализации хлебобулочных изделий. Если выборочному обследованию были подвергнуты 80 торговых предприятий, то какова вероятность того, что доля реализации хлеба определенного сорта в генеральной совокупности будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли менее чем на 5%?

9. В течение месяца кредитным отделом банка было выдано 68 ипотечных кредитов. Менеджер банка оценивает вероятность просрочки оплаты таких кредитов как 0,2. Какова вероятность того, что в течение срока кредитования будут просрочены:

а) как минимум 15 кредитов?

б) не более 18 кредитов?

10. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов — нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

11. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.

а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля.

б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля.

в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.

12. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 72 избирателя случайно отобраны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что выборочная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более, чем на 0,09.

13. Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 150000 единиц продукции в неделю, и стандартным отклонением — 12000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции:

а) превысит 170000 единиц;

б) окажется ниже 100000 единиц в данную неделю?

в) Предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 90000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверждает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня ( ). Можно ли доверять профсоюзу?

14. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,09. Агрономы знают, что 75% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

15. Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а = 11% и стандартным отклонением = 3,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки:

б) окажется менее 16%;

в) будет в пределах от 13 до 17%.

16. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

а) более 70 условных денежных единиц?

б) ниже 50 за акцию?

в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

17. По данным университета лишь 45% абитуриентов получают положительные оценки на вступительных экзаменах. Предположим, что в приемную комиссию поступило 2120 заявлений. Чему равна вероятность того, что:

а) хотя бы 970 абитуриентов получат положительные оценки на вступительных экзаменах?

б) 950 абитуриентов получат положительные оценки на вступительных экзаменах?

18. Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 месяцев со стандартным отклонением = 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать ремонт коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275% проданных автомобилей?

19. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную ёмкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение s = 0,4 унции. Пусть ёмкости объёмом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 3% ёмкостей оказались переполненными?

20. Налоговая инспекция утверждает, что нарушения налогового законодательства характерны для 35% предприятий города. Тщательной проверке были подвергнуты 59 предприятий. Чему равна вероятность того, что доля предприятий – нарушителей будет отличаться от истинной доли более чем на 0,12?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

5.1.Дневная добыча угля в некоторой шахте рас­пределена по нормальному закону с математиче­ским ожиданием 785 т и стандартным отклонени­ем 60 т. Найдите вероятность того, что в опреде­ленный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые бу­дет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите вероят­ность того, что в данный день добыча угля окажет­ся ниже 665 т.

5.2.Кандидат на выборах считает, что 20% изби­рателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя слу­чайно отобраны из числа избирателей данной обла­сти, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не бу­дет отличаться по абсолютной величине от истин­ной доли более, чем на 0,07.

5.3.Авиакомпания знает, что в среднем 5% лю­дей, делающих предварительный заказ на опреде­ленный рейс, не будет его использовать. Если авиа­компания продала 160 билетов на самолет, в кото­ром лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

5.4.Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределен­ная случайная величина с неизвестным математи­ческим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выб­ранного грейпфрута.

5.5.Один из методов, позволяющих добиться ус­пешных экономических прогнозов, состоит в при­менении согласованных подходов к решению конк­ретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат та­ких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением 9%и стандарт­ным отклонением2,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Най­дите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.

5.6.Предположим, что в течение года цена на ак­ции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с матема­тическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандарт­ным отклонением, равным 6. Определите вероят­ность того, что в случайно выбранный день обсужда­емого периода цена за акцию была: а) более 60 у.е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между40и 50 у.е. за акцию.

5.7.Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзаме­ны. В среднем их выдерживают лишь 25% абиту­риентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все эк­замены (наберут проходной балл)?

5.8.Средний срок службы коробки передач до ка­питального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклоне­нием16 мес. Привлекая покупателей, произво­дитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколь­ко месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бес­платных ремонтов не превышало 2,275% продан­ных автомобилей?

5.9.При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное чис­ло унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нор­мальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество ун­ций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение0,4 унции. Пусть ем­кости объемом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разли­вать аппарат, чтобы не более 5% емкостей оказа­лось переполненными?

5.10.Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением560 и неизвестным матема­тическим ожиданием. В 90% случаев число еже­месячных заказов превышает 12 439. Найдите ожи­даемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

5.11.Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134 786 ед. продук­ции в неделю, и стандартным отклонением — 13 000 ед. Найдите вероятность того, что еженедель­ный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже 100 000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80 000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверж­дает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (). Можно ли доверять проф­союзу?

5.12.Почтовое отделение быстро оценивает объем переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого текущего рабочего дня. Установле­но, что если вес почтовых отправлений составляетNкг, то объем переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением160Nи стандартным откло­нением20Nкг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объем переводов в рублях будет находиться в преде­лах: а) от 21 000 до 27 000 руб.; б) более 28 500 руб.; в) менее 22 000 руб.

5.13.Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресто­ран поужинать. В один из вечеров менеджер ре­шил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероят­ность того, что более 15 посетителей придут на за­казанные места?

5.14.Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого кор­ма доля протеина составляла не меньше,но не болееНайдитеи .

5.15.Вес товаров, помещаемых в контейнер опре­деленного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейне­ров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25% — имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

5.16.Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполя­рья есть случайная величина. Чему рав­на вероятность того, что абсолютная величина от­клонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4?

5.17.КомпанияАпокупает у компанииВдетали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точ­но установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера бо­лее чем намм, считается дефектной. Компа­нияАтребует от компанииВ,чтобы доля брака не превышала 1% деталей. Если компанияВвыпол­няет требование компанииА, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормаль­ному закону.

5.18.Компьютерная система содержит 45 одина­ковых микроэлементов. Вероятность того, что лю­бой микроэлемент будет работать в заданное вре­мя, равна 0,80. Для выполнения некоторой опера­ции требуется, чтобы по крайней мере 30 микро­элементов было в рабочем состоянии. Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

5.19.Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько экспериментальных партий покрышек и проверить степень их износа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количе­ство каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2 500 миль (2 500). Если компания хочет, чтобы 80% выпускаемых автопок­рышек имели срок службы не менее 25 000 миль, то какой наименьший средний срок службы авто­покрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела? Считать срок службы автопок­рышек нормально распределенным.

5.20.Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много вре­мени на выполнение их заказов. Собрав и проана­лизировав соответствующую информацию, он вы­яснил, что среднее время выполнения заказа состав­ляет 6,6 дня, однако для выполнения 20% заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, рас­пределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени об­служивания клиентов.

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

29.Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а=9% и стандартным отклонением s=2.6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.

Задачи к теме 5

19. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную ёмкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение  = 0,4 унции. Пусть ёмкости объёмом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 3% ёмкостей оказались переполненными?

Задачи к теме 5

2. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более, чем на 0,07.

Задачи к теме 5 «Законы распределения непрерывных случайных величин»

8. По данным независимого исследования, хлеб определенного сорта, составляет 15% от совокупной реализации хлебобулочных изделий. Если выборочному обследованию были подвергнуты 80 торговых предприятий, то какова вероятность того, что доля реализации хлеба определенного сорта в генеральной совокупности будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли менее чем на 5%?

Решение тестов по теории вероятности 4100

В магазине имеется 15 видов различных коробок с конфетами. Представитель фирмы покупает 10 коробок, выбирая каждую случайным образом. Сколько существует способов выбрать случайно 10 самых дорогих коробок конфет, если все коробки с конфетами должны быть разными?

Пусть прогноз относительно величины банковской процентной ставки

4. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

Как легко рассчитать процентную ставку

Банки обычно повышают процентную кредитную ставку в периоды повышенной инфляции, закладывая ее рост в номинальную ставку. Такой шаг, помимо борьбы с понижением цены денег, дает им возможность поднять процентную ставку по депозитам, чтобы не лишиться вкладчиков.

1. Компьютерная система содержит 50 одинаковых микрочипов. Вероятность того, что любой микрочип будет работать в заданное время, равна 0,9. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы, по крайней мере, 30 микрочипов было в рабочем состоянии.

а) Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

б) Чему равна вероятность того, что будут работать 47 микрочипов?

2. Почтовое отделение быстро оценивает объём переводов в рублях, взвешивая почтовые отправления, полученные в течение каждого текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений составляет N кг, то объём переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N и стандартным отклонением 20N руб. Найти вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объём переводов в рублях будет находиться в пределах:

а) от 21000 до 27000 руб.; б) более 28500 руб.; в) менее 22000 руб.

3.Менеджер крупного ресторана по опыту знает, что только 80% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 60 заказов, хотя в ресторане было лишь 55 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 55 посетителей придут на заказанные места?

4. Экзамен по математической статистике успешно сдают 75% студентов дневного отделения. Если на втором курсе факультета обучается 250 студентов, то какова вероятность того, что 203 студента сдадут экзамен успешно?

5. В отделе продаж страховой компании работают 45 сотрудников. Вероятность того, что сотрудник выполнит план по числу заключенных договоров, оценивается начальником отдела как 0,7. Какова вероятность того, что:

а) план выполнят как минимум 35 сотрудников?

б) план выполнят не более 30 сотрудников?

в) план выполнят 37 сотрудников?

6. Отдел маркетинга фармацевтической компании утверждает, что новая модификация таблеток от головной боли используется 30% пациентов. Если среди пациентов было отобрано 80 человек, то какова вероятность того, что доля лиц в выборке, предпочитающих новую модификацию таблеток, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более чем на 0,1?

7. Дневная выручка супермаркета распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 10000 у.е. и стандартным отклонением 1400 у.е. Найдите вероятность того, что:

а) выручка супермаркета окажется более 13000 у.е.;

б) выручка супермаркета окажется менее 8000 у.е.;

в) найдите границы, в которых будет находиться выручка супермаркета согласно правилу трех сигм.

8. По данным независимого исследования, хлеб определенного сорта, составляет 15% от совокупной реализации хлебобулочных изделий. Если выборочному обследованию были подвергнуты 80 торговых предприятий, то какова вероятность того, что доля реализации хлеба определенного сорта в генеральной совокупности будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли менее чем на 5%?

9. В течение месяца кредитным отделом банка было выдано 68 ипотечных кредитов. Менеджер банка оценивает вероятность просрочки оплаты таких кредитов как 0,2. Какова вероятность того, что в течение срока кредитования будут просрочены:

а) как минимум 15 кредитов?

б) не более 18 кредитов?

10. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов — нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

11. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.

а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля.

б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля.

в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.

12. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 72 избирателя случайно отобраны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что выборочная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более, чем на 0,09.

13. Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 150000 единиц продукции в неделю, и стандартным отклонением — 12000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции:

а) превысит 170000 единиц;

б) окажется ниже 100000 единиц в данную неделю?

в) Предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 90000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверждает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня ( ). Можно ли доверять профсоюзу?

14. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,09. Агрономы знают, что 75% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

15. Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а = 11% и стандартным отклонением = 3,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки:

б) окажется менее 16%;

в) будет в пределах от 13 до 17%.

16. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

а) более 70 условных денежных единиц?

б) ниже 50 за акцию?

в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

17. По данным университета лишь 45% абитуриентов получают положительные оценки на вступительных экзаменах. Предположим, что в приемную комиссию поступило 2120 заявлений. Чему равна вероятность того, что:

а) хотя бы 970 абитуриентов получат положительные оценки на вступительных экзаменах?

б) 950 абитуриентов получат положительные оценки на вступительных экзаменах?

18. Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 месяцев со стандартным отклонением = 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать ремонт коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275% проданных автомобилей?

19. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную ёмкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение s = 0,4 унции. Пусть ёмкости объёмом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 3% ёмкостей оказались переполненными?

20. Налоговая инспекция утверждает, что нарушения налогового законодательства характерны для 35% предприятий города. Тщательной проверке были подвергнуты 59 предприятий. Чему равна вероятность того, что доля предприятий – нарушителей будет отличаться от истинной доли более чем на 0,12?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском: